নিম্মে ক্ষেত্রফল ও বৃত্ত সম্পর্কিত বিস্তারিত আলোচনা করা হল

জ্যামিতিতে সবথেকে গুরুত্বপূর্ণ আকৃতি গুলোর মধ্যে বৃত্তের ব্যবহার সবথেকে বেশি।তাই বিভিন্ন পরীক্ষা থেকে শুরু করে বাস্তব জীবনেও বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করতে পারাটা আমাদের জন্য অনেক বেশি প্রয়োজন। ছোটবেলা থেকে বৃত্তের সঙ্গে আমাদের গণিত ও বিজ্ঞান বিষয়টা ওতপ্রোতভাবে জড়িত ছিল। গণিত ও বিজ্ঞান নিয়ে কাজ করতে হলে অবশ্যই বৃত্ত সম্পর্কিত সাধারণ বিষয়গুলোকে জানতে হবে। নিম্নে আমরা বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন সূত্র ও সংজ্ঞা উপস্থাপন করছি সচিত্র উদাহরণসহ।

(BCS প্রিলিমিনারিতে রেখা, কোণ, বৃত্ত সম্পর্কিত,ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য, পিথাগোরাসের উপপাদ্য, বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য, পরিমিতি সরল ক্ষেত্র ও ঘনবস্তু থেকে সর্বোচ্চ ০৩ নম্বর থাকবে এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়ও বৃত্ত সম্পর্কিত প্রশ্ন থাকে)

বৃত্ত কাকে বলে?

বক্ররেখার দ্বারা আবদ্ধ একটি সমতল চিত্র যার মধ্যে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সীমানা রেখা পর্যন্ত আঁকা সমস্ত সরল রেখা সমান হয় তাকে বৃত্ত বলে। একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের বক্র রেখার প্রতিটি বিন্দু সমান দূরত্বে অবস্থান করতে হবে। এই বিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থান করবে এবং বক্ররেখা যে বিন্দুগুলো দিয়ে তৈরি হয়েছে সেগুলো থেকে এর দূরত্ব সর্বদা সমান থাকবে। নিম্নে একটি চিত্রের মাধ্যমে এই বিষয়টিকে দেখানো হলো:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ কাকে বলে ?

বৃত্তের কেন্দ্র হতে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে। অন্যভাবে বললে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির উপর যে কোন বিন্দুর দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র ও পরিধির উপর যে কোন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। একটি বৃত্তে অসংখ্য ব্যাসার্ধ আঁকা যায়। বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো ব্যাসের অর্ধেক।
∴ ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২ ।

বৃত্তের কেন্দ্র বা কেন্দ্রবিন্দু কাকে বলে?

বৃত্তের মধ্যে যে বিন্দু থেকে সীমানা রেখা পর্যন্ত আঁকা সমস্ত সরল রেখা সমান হয় তাকে বৃত্তের কেন্দ্র বা কেন্দ্রবিন্দু বলে। কেন্দ্র থেকে বৃত্তের বক্ররেখার দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়ে থাকে। ব্যাসার্ধের দ্বিগুণকে বলা হয়ে থাকে ব্যাস। মূলত একটি বৃত্তের এই সকল তথ্য দ্বারা বিভিন্ন বিষয়কে হিসাব করা যায়। নিম্নে আমরা তার বেশ কিছু উদাহরণ আপনাদের সামনে উপস্থাপন করলাম।

অথবা, বৃত্ত, গোলক ও রেখাংশের কেন্দ্র । বৃত্তের ক্ষেত্রে এর প্রান্তবিন্দুগুলো অর্থাৎ পরিধিস্থ বিন্দুগুলো বৃত্তটির অন্তস্থ যে নির্দিষ্ট বিন্দুটি থেকে সমদূরবর্তী সেই বিন্দুটিকে ঐ বৃত্তের কেন্দ্র বলা হয়। অর্থাৎ যে নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের পরিধির সকল বিন্দুর দুরত্ব সমান সেই নির্দিষ্ট বিন্দুটিই বৃত্তের কেন্দ্র।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হল πr² যেখানে r হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং π হচ্ছে একটি ধ্রুবক বা constant যার মান 3.1416 প্রায়। একটি বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ জানলে আমরা খুব সহজে সেই বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারব।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক।

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে এর ক্ষেত্রফল = r² বর্গ একক।

বৃত্তের জ্যা কাকে বলে ?

বৃত্তের পরিধির উপর যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের জ্যা বলে। এরূপ দুইটি বিন্দু যোগ করে অসংখ্য রেখাংশ অঙ্কন করা যায়। তাই একটি বৃত্তের অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে।

বৃত্তের ব্যাসই হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। আবার, বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। তাছাড়া, যেকোনো বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী। বৃত্তের জ্যা এর আরেকটি অন্যতম বৈশিষ্ট্য হলো বৃত্তের দুটি জ্যা এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতর জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর।

বৃত্তের স্পর্শক কাকে বলে ?

একটি সরলরেখা যদি একটি বৃত্তকে একটি ও কেবল একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে ঐ সরলরেখাটিকে বৃত্তের স্পর্শক বলে। অন্যভাবে বললে, একটি সরলরেখা ও একটি বৃত্ত যদি একটি ও কেবল একটি বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের স্পর্শক বলে।

বৃত্তের একটি অনন্য বিন্দুতে স্পর্শকারী, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখাকে বৃত্তের স্পর্শক বলে। অতএব, বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের একটি একক বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শক সবসময়ই বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধর উপর লম্ব এবং বৃত্তের পরিধির উপর একটি মাত্র বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে বৃত্তে কেবল একটি স্পর্শক আঁকা যায়। আবার, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে ঐ বৃত্তে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়। তাছাড়া, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হল πr² যেখানে r হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং π হচ্ছে একটি ধ্রুবক বা constant যার মান 3.1416 প্রায়। একটি বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ জানলে আমরা খুব সহজে সেই বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারব।

ধরুন একটি বৃত্তের ব্যাস দেওয়া রয়েছে 5 সেন্টিমিটার, এক্ষেত্রে আপনাকে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। নিম্নে আমরা আপনাকে দেখাচ্ছি কিভাবে আপনি ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবেন।

প্রথমে ব্যাস কে ব্যাসার্ধ পরিণত করতে হবে অর্থাৎ ব্যাসকে দুই দিয়ে ভাগ করলে আমরা ব্যাসার্ধ পাব। অর্থাৎ আমরা পাই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেন্টিমিটার। এখন আমরা হিসাব করলে পাব:

বৃত্তের  ক্ষেত্রফল A=πr2A=πr2
⇒A=π(2.5)2⇒A=π(2.5)2
⇒A=19.63495⇒A=19.63495
অর্থাৎ বৃত্তের ক্ষেত্রফল 19.63 বর্গসেন্টিমিটার।

এই পদ্ধতিতে আমরা যে কোন বৃত্তের ব্যাস অথবা ব্যাসার্ধ জানার মাধ্যমে খুব সহজে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারব। বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা অনেক রকমের গণিতে প্রয়োজন হয়ে থাকে। এমনকি বড় বড় গাণিতিক সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে এর ব্যবহার হয়ে থাকে।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের ক্লাস

বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের পরিধির সূত্র কি?

বৃত্তের পরিধি কাকে বলে?

বৃত্তের চারদিকের সীমান্ত বরাবর দুরত্বকে বৃত্তের পরিধি বলে।

বৃত্তের পরিধি ও তার অংশ দেখা যাচ্ছে।

দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে বৃত্ত হলো সুষম আবদ্ধ একটি বক্রাকার চিত্র বা বক্ররেখা। তাই বৃত্ত মূলতঃ একটি বদ্ধ বক্ররেখা। একটি বৃত্ত-বক্ররেখার যেকোনো স্থানে কেটে বক্ররেখাটিকে সোজাসুজি টান করলে যে রেখাংশ তৈরি হয়, সেই রেখাংশের দৈর্ঘ্যকে বৃত্তটির পরিধি বলে। আবার বৃত্ত হলো একটি ডিস্কের ধার বা সীমানা। সেই কারণে পরিধি হলো পরিসীমার একটি বিশেষ রূপ। দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে, পরিসীমা হলো বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

বৃত্ত, উপবৃত্ত ইত্যাদি কিছু দ্বিমাত্রিক গোলাকার আকার-আকৃতির ক্ষেত্রে, আকৃতিটির চতুর্দিকের মোট দৈর্ঘ্য বা দুরত্বকে পরিধি বলা হলেও বেশিরভাগ দ্বিমাত্রিক আকার-আকৃতির চারদিকের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলা হয়। যেমন – ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, রম্বস, বর্গক্ষেত্র ইত্যাদি এরা প্রত্যকেই এক একটি বহুভুজ। এসব বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি পরিসীমা বলে পরিচিত। পক্ষান্তরে, উপবৃত্তের চতুর্দিকের ধারের দুরত্ব পরিধি বলে অভিহিত।

উল্লেখ্য, পরিধি হলো বৃত্তের চারদিকের দুরত্ব। কিন্তু, প্রাথমিক জ্যামিতির মৌলিক ধারণাসমূহে, দুরত্ব বলতে সরলরৈখিক দুরত্বকেই বুঝায়। সেদিক দিয়ে বিবেচনা করলে পরিধির সংজ্ঞা প্রদানের ক্ষেত্রে ”দুরত্ব” শব্দটিকে ব্যবহার করা চলে না। সেক্ষেত্রে পরিধির সংজ্ঞা প্রদানের ক্ষেত্রে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত সুষম বহুভুজের পরিসীমার লিমিট (limit) এর ধারণার সাহায্য নেওয়া হয়।

বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্র

বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্রটি হল 2πr যেখানে r হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং π হচ্ছে একটি ধ্রুবক বা constant যার মান 3.1416 প্রায়। একটি বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ জানলে আমরা খুব সহজে সেই বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় করতে পারব।

বৃত্তের পরিধি 

C=2πrC=2πr

ধরুন একটি বৃত্তের ব্যাস দেওয়া রয়েছে 10 সেন্টিমিটার, এক্ষেত্রে আপনাকে বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় করতে হবে। নিম্নে আমরা আপনাকে দেখাচ্ছি কিভাবে আপনি পরিধি নির্ণয় করতে পারবেন।

প্রথমে ব্যাস কে ব্যাসার্ধ পরিণত করতে হবে অর্থাৎ ব্যাসকে দুই দিয়ে ভাগ করলে আমরা ব্যাসার্ধ পাব। অর্থাৎ আমরা পাই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 সেন্টিমিটার। এখন আমরা হিসাব করলে পাব:

বৃত্তের  পরিধি 

C=2πrC=2πr
⇒C=2π(5)⇒C=2π(5)
⇒C=31.41593⇒C=31.41593
⇒C≈31.42⇒C≈31.42
অর্থাৎ বৃত্তের পরিধি 31.42 সেন্টিমিটার।

এই পদ্ধতিতে আমরা যে কোন বৃত্তের ব্যাস অথবা ব্যাসার্ধ জানার মাধ্যমে খুব সহজে তার পরিধি নির্ণয় করতে পারব। বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করা অনেক রকমের গণিতে প্রয়োজন হয়ে থাকে। এমনকি বড় বড় গাণিতিক সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে এর ব্যবহার হয়ে থাকে।

বৃত্তের ছেদক রেখা কাকে বলে?

যে সরলরেখা বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বৃত্তের ছেদক রেখা বলে। অতএব, একটি জ্যা কে উভয়দিকে সীমাহীনভাবে বর্ধিত করলে ছেদক রেখা উৎপন্ন হয় যা বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তের চাপ কাকে বলে

বৃত্তের পরিধির যেকোনো অংশকে বৃত্তের চাপ বলে। বৃত্ত চাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যদি কোন রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় হয়, তাহলে ঐ রেখাংশকে বৃত্তের জ্যা বলে।

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। বিপরীতক্রমে, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। আবার, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ বা ৯০°।

অর্ধ বৃত্তচাপ বা অর্ধবৃত্ত কাকে বলে?

যে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য পরিধির অর্ধেক তাকে অর্ধ বৃত্তচাপ বা অর্ধবৃত্ত বলে।

বৃত্তাংশ কাকে বলে?

বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তাংশ বলে।

বৃত্ত কলা কাকে বলে?

বৃত্তের দুইটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তকলা বা বৃত্তীয় ক্ষেত্র বলে।

“বৃত্তের বৈশিষ্ট্য”

বৃত্তের সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করলে বৃত্ত সংক্রান্ত কতকগুলো মৌলিক উপাদান ও বৃত্তের বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। আবার বৃত্তের বিভিন্ন অংশ যেমন বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, বৃত্তের ব্যাস, বৃত্তের পরিধি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল, বৃত্তের স্পর্শক, বৃত্তের প্রতিসমতা ইত্যাদি বিশ্লেষণ করলে বৃত্তের বৈশিষ্ট্য গুলো কি কি তা স্পষ্ট হয়ে ওঠে।

বৃত্ত বিশ্লেষণ করলে যেসব বৃত্তের বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়, বৃত্ত চিত্র সহ তার একটি তালিকা নিচে উল্লেখ করা হলোঃ

• একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে পরিসীমা বিবেচনা করে যেসব দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ, বৃত্ত ইত্যাদি অঙ্কন করা যায় তাদের মধ্যে বৃত্ত ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হবে সবচেয়ে বেশি।
• বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।
• বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
• বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত সবসময়ই ২২ : ৭, যা π বলে পরিচিত অর্থাৎ, π = ২২৭।
• বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাসভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• বৃত্তের দুইটি সমান সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
• একটি বৃত্তের অসংখ্য ব্যাসার্ধ আঁকা যায়।
• একই সমতলে অবস্থিত এবং সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি ও কেবল একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
• বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
• বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
• দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যা দুইটির উপর লম্ব।
• বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
• বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো কোণের সমদ্বিখণ্ডক ও তার বিপরীত কোণের বহির্দ্বিখণ্ডক বৃত্তের উপর ছেদ করে।
• বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
• সব বৃত্তই পরস্পর সদৃশ।
• যেসব বৃত্তের ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান, সেসব বৃত্ত পরস্পর সর্বসম।
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও তার ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমানুপাতিক।
• বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।
• যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু (0,0) এবং ব্যাসার্ধ ১ একক, তার নাম একক বৃত্ত (unit circle)।
• বৃত্তের ব্যাস বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
• বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দু বৃত্তের অভ্যন্তরে থাকে।
• যেকোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।

বৃত্ত সংক্রান্ত যেসব প্রশ্নসমূহ সচরাচর মানুষ করে থাকে।

প্রশ্নঃ ১. বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্র কি

উত্তরঃ বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্র কি তা জানার বৃত্তের পরিধি কি তা জানা দরকার। বৃত্তের চতুর্দিকের সীমান্ত বরাবর দৈর্ঘ্যকে বৃত্তের পরিধি বলে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের পরিধি নির্ণয়ের সূত্র হবে 2πr একক যেখানে π একটি গ্রিক অক্ষর এবং π = ২২৭।
∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr একক।

প্রশ্ন ২. সমবৃত্ত কাকে বলে ?

উত্তরঃ বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোন আবদ্ধ ক্ষেত্রের শীর্ষ বিন্দুসমূহ যদি ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করে তবে ঐ বিন্দুসমূহ কে সমবৃত্ত বলে। অন্যভাবে বললে, একই বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত বিন্দুসমূহকে সমবৃত্ত বলে। যেমনঃ ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি A, B, C ও D একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত হলে ঐ বিন্দু চারটিকে সমবৃত্ত বলে। তদ্রূপ, P, Q, R, S ও T এই বিন্দু পাঁচটি একই বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত হলে বিন্দু পাঁচটিকে একত্রে সমবৃত্ত বলা হয়।

প্রশ্ন ৩. বৃত্ত কাকে বলে ?

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে অন্য আরেকটি বিন্দু তার চারদিকে একবার ঘুরে এলে যে গোলাকার ক্ষেত্র তৈরি হয় তাকে বৃত্ত বলে। অন্যভাবে বললে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে যে আবদ্ধ বক্ররেখা চারদিকে ঘুরে আসে তাকে বৃত্ত বলে।

প্রশ্নঃ ৪. সমকেন্দ্রিক বৃত্ত কাকে বলে ?

উত্তরঃ একই কেন্দ্র বিশিষ্ট একাধিক বৃত্তকে সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে। অন্যভাবে বললে, কতকগুলো বৃত্তের কেন্দ্র একই বিন্দু হলে ঐসব বৃত্তসমূহকে সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে। যেমনঃ মনেকরি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O, PQR বৃত্তের কেন্দ্র O এবং XYZ বৃত্তের O. এখানে তিনটি বৃত্তের কেন্দ্রই O. তাই বৃত্ত তিনটিকে সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে।

প্রশ্নঃ ৫. একটি বৃত্তের কয়টি অংশ থাকে

উত্তরঃ একটি বৃত্তের কয়টি অংশ থাকে তা এক কথায় জবাব দেওয়া একটু কষ্টকর। তবে সহজ করে বললে, বৃত্তের বিভিন্ন অংশ নিয়ে বৃত্ত গঠিত। একটি সাধারণ বৃত্ত থেকে বৃত্তের বিভিন্ন অংশ চেনা যায় না। বৃত্তের বিভিন্ন অংশ চিহ্নিত করতে চাইলে বৃত্তে তা অংকন করতে হয়। বৃত্তের বিভিন্ন অংশ সমূহ যেমন: বৃত্তের কেন্দ্র, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, বৃত্তের ব্যাস, বৃত্তের পরিধি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল, বৃত্তের জ্যা, বৃত্তচাপ, অর্ধবৃত্ত চাপ, অর্ধবৃত্ত, বৃত্তাংশ, বৃত্তের ছেদক রেখা, বৃত্তীয় কোণ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ, বৃত্ত কলা ইত্যাদি।

বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:

»বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² ( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
»গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
»গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)

বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণা

০১। একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
০২। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
০৩। একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
০৪। বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
০৫। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

০৬। বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
০৭। বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
০৮।বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
০৯। বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
১০। কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।

১১। অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ
১২। একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
১৩। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
১৪। একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।
১৫। বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।

১৬। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
১৭। বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
১৮। বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
১৯। বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
২০। বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

২১। কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
২২। অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।

২৩। একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।
২৪। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
২৫। একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।

২৬। বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
২৭। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
২৮। বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
২৯। বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
৩০। বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

৩১। বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
৩২। কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।
৩৩। অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।

বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্ত সমস্যার সমাধান করতে পারবেন এই নিয়ম গুলো জানলে

আরও পড়ুন

(বিভিন্ন প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় রেখা, কোণ, বৃত্ত সম্পর্কিত,ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য, পিথাগোরাসের উপপাদ্য, বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য, পরিমিতি সরল ক্ষেত্র ও ঘনবস্তু থেকে আসে )

বর্গক্ষেত্র (Square) :

চার বাহু সমান এবং কোণগুলো সমাকোণ

কর্ণদ্বয় সমান এবং এরা পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিথণ্ডিত করে।

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর পরিমাণ

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²

বর্গ ক্ষেত্রের কর্ণ =√2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য

আয়তক্ষেত্র (Rectangle) :

 বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল

কোণগুলোর প্রতিটি সমকোণ

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)

সামান্তরিক (Parallelogram) :

 বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল

কোণগুলো সমকোণ নয়

বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান

ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা

পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

রম্বস :

চারটি বাহু সমান।

কোণগুলো সমকোণ নয়।

বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান এবং কর্ণ দ্বয় অসমান।

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ক্ষেত্রফল =১/২  x কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

পরিসীমা = 4 x কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) :

দুটি  বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়, বাকি দুটি তির্যক।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল)× উচ্চতা

চতুভূজ বিষয়ক অনুসিদ্ধান্ত–

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ দুটি সমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিথণ্ডিত করে।

সমান্তরিকের  কর্ণ দ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিথণ্ডিত করে।

সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর  উপর অংকিত বর্গের সমষ্টির সমান।

নিম্নোক্ত শর্ত সাপেক্ষ চতুভূজ অংকন করা যায় : ১ চারটি বাহু ও একটি কোণ ; ২ চারটি বাহু ও একটি কর্ণ; ৩ তিনটি কোণ ও দুটি বাহু ও দুটি কর্ন।

সামান্তরিকোর বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে।

উদাহরণ-১ঃ

একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুন। দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধানঃ

দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুন

দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার

অতএব, বিস্তার ১৬ মিটার

সুতরাং পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

                    = ২ (৪৮+১৬) = ১২৮ মিটার

উদাহরণ-২ঃ

একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি ও প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধানঃ

২০% বৃদ্ধি তে ,
দীর্ঘ  ১০০ হলে পরবর্তী দীর্ঘ = ১২০
১০% হ্রাসে ,
প্রস্থ ১০০ হলে প্রস্থ = ৯০
ক্ষেত্র ফল = (১২০ x  ৯০) = ১০৮০০
প্রথম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = (১০০ x ১০০)= ১০০০০

বৃদ্ধি = (১০৮০০-১০০০০) =৮০০
তাহলে , শতকরা বৃদ্ধি   = (৮০০/১০০০০) X ১০০ = ৮%

উদাহরণ-৩ঃ

চতুর্ভুজে চার কোনের অনুপাত ১:২:২:৩ হলে বৃহত্তম কোনের পরিমান হবে?

সমাধানঃ

চার কোনের অনুপাত = ১:২:২:৩
তাহলে বাহু গুলো যথাক্রমে = x,২x,২x,৩x

চতুর্ভুজের চার কোনের সমষ্টি = ৩৬০ ^০
প্রশ্নমতে
x +২x+২x+৩x = ৩৬০
বা। ৮X =৩৬০ বা, X = ৪৫
বৃহত্তম কোণ = ৩ X  ৪৫ = ১৩৫ 

উদাহরণ-৪ঃ

একটি আয়াতাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি।ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ কত?

সমাধানঃ

প্রস্থ = ক মিটার 
দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ৩২
=> ২ (ক + ৪ + ক) = ৩২
=> ৪ক + ৮ = ৩২
=> ৪ক = ২৪; ক =৬
দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার  = ১০ মিটার 

উদাহরণ-৫ঃ

একটি রম্বসের কর্ণ দ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ X কর্ণ দ্বয় এর গুনফল = ১/২ X ৪X ৬ =১২

উদাহরণ-৬ঃ

একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপর এক বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে বর্গক্ষেত্র দু’টির কর্ণের অনুপাত হবে—

সমাধানঃ

ধরা যাক , এক বর্গের বাহু = ৪ক
                       অপর বর্গের পরিসীমা = ৪ক
সুতরাং , অপর বর্গের বাহু = ক  
বর্গের বাহু ক হলে কর্ণ =√২ ক  
কর্ণ দ্বয়ের অনুপাত = √২ x ৪কঃ √২ ক  =৪:১ 

উদাহরণ-৭ঃ

৪ ফুট বাহুবিশিষ্ট  একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকাতে ৪ বর্গফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে?

সমাধানঃ

বাহু = ৪ ফুট বলে
বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪^২=১৬ বর্গ মিটার

সুতরাং , পাথর লাগবে = ১৬/৪ = ৪টি

General ideas about area and circle

---

তথ্যসূত্র

1. ↑ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man’s Changing Vision of the Universe (1959)
2. ↑ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol.2, Ch.2, “Of Plato”
3. ↑ Chronology for 30000 BC to 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
4. ↑ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
5. ↑ Measurement of a Circle by Archimede