অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক:
সম্মানিত পাঠক আপনাকে আমার পেইজে স্বাগতম। আজকে আমরা গণিতের একটু গুরুত্বপুর্ণ বিষয় অনুপাত নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করবো।BCS প্রিলিমিনারিতে বাস্তব সংখ্যা, লসাগু, গসাগু, শতকরা, সরল ও যৌগিক মুনাফা, অনুপাত ও সমানুপাত, লাভ ও ক্ষতি থেকে সর্বোচ্চ ০৩ নম্বর থাকবে এবং অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়ও এ অধ্যায়গুলো থেকে প্রশ্ন থাকে ।
তাই আজ আমরা পড়বো অনুপাত কাকে বলে, অনুপাতের ভাগ গুলি কি কি? অনুপাত কিভাবে নির্ণয় করতে হয়, এবং তার সাথে সাথে শিখে নেবো সমানুপাত কী? ও বিস্তারিত আলোচনা করব। তাহলে শুরু করা যাক!
অনুপাত
অনুপাত প্রধানত অনুপাত এবং ভগ্নাংশের উপর ভিত্তি করে ব্যাখ্যা করা হয়। একটি ভগ্নাংশ, a/b আকারে উপস্থাপিত, যখন অনুপাত a:b, তারপর একটি অনুপাত বলে যে দুটি অনুপাত সমান। এখানে, a এবং b যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা। অনুপাত এবং অনুপাত গণিতের পাশাপাশি বিজ্ঞানের বিভিন্ন ধারণা বোঝার মূল ভিত্তি।
অনুপাত অনেক দৈনন্দিন জীবনের সমস্যা সমাধানে প্রয়োগ খুঁজে পায় যেমন ব্যবসায় লেনদেন করার সময় বা রান্না করার সময়, ইত্যাদি। এটি দুই বা ততোধিক পরিমাণের মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে এবং এইভাবে তাদের তুলনা করতে সহায়তা করে।
অনুপাত কি?
অনুপাত, সাধারণভাবে, একটি অংশ, ভাগ বা সংখ্যা হিসাবে উল্লেখ করা হয় যা একটি সমগ্রের সাথে তুলনামূলকভাবে বিবেচনা করা হয়। অনুপাতের সংজ্ঞা বলে যে যখন দুটি অনুপাত সমান হয়, তখন তারা অনুপাতে থাকে। এটি একটি সমীকরণ বা বিবৃতি যা চিত্রিত করতে ব্যবহৃত হয় যে দুটি অনুপাত বা ভগ্নাংশ সমান।
অনুপাত- সংজ্ঞা
অনুপাত হল দুটি সংখ্যার মধ্যে একটি গাণিতিক তুলনা। অনুপাত অনুসারে, যদি প্রদত্ত সংখ্যার দুটি সেট একই অনুপাতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, তবে অনুপাতগুলি একে অপরের সাথে সরাসরি সমানুপাতিক বলা হয়। অনুপাতগুলি “::” বা “=” চিহ্ন ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়।
অনুপাত- উদাহরণ
দুটি অনুপাত সমান হলে দুটি অনুপাতকে অনুপাতে বলা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, 50কিমি প্রতি ঘন্টায় ট্রেনে 5 ঘন্টার জন্য 250কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় লাগে তার সমান। যেমন 50 কিমি/ঘন্টা = 250 কিমি/5 ঘন্টা।
অবিরত অনুপাত
যেকোন তিনটি রাশিকে ক্রমাগত অনুপাতে বলা হয় যদি প্রথম এবং দ্বিতীয়টির মধ্যে অনুপাতটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয়টির মধ্যে অনুপাতের সমান হয়। একইভাবে, অবিরত অনুপাতে চারটি পরিমাণের প্রথম এবং দ্বিতীয়ের মধ্যে অনুপাত তৃতীয় এবং চতুর্থের অনুপাতের সমান হবে।
উদাহরণস্বরূপ, a:b এবং c:d হিসাবে দুটি অনুপাত বিবেচনা করুন। দুটি প্রদত্ত অনুপাত পদের জন্য ক্রমাগত অনুপাত খুঁজে বের করার জন্য, আমরা তাদের অর্থকে একটি একক পদ/সংখ্যাতে রূপান্তর করব। এটি সাধারণভাবে, অর্থের LCM হবে এবং প্রদত্ত অনুপাতের জন্য, b & c-এর LCM হবে bc। এইভাবে, প্রথম অনুপাতকে c দ্বারা এবং দ্বিতীয় অনুপাতটিকে b দ্বারা গুণ করলে, আমাদের আছে
• প্রথম অনুপাত- ca:bc
• দ্বিতীয় অনুপাত- bc:bd
সুতরাং, প্রদত্ত অনুপাতের ক্রমাগত অনুপাত ca:bc:bd আকারে লেখা যেতে পারে।
অনুপাত এবং অনুপাত
অনুপাত হল বিভাগ ব্যবহার করে একই ধরণের দুটি পরিমাণের তুলনা করার একটি উপায়। দুটি সংখ্যা a এবং b এর অনুপাত সূত্র a:b বা a/b দ্বারা দেওয়া হয়। অনুপাতের প্রতিটি পদকে একই সংখ্যা (অ-শূন্য) দ্বারা গুণ ও ভাগ করলে অনুপাতকে প্রভাবিত করে না।
যখন দুই বা ততোধিক অনুপাত সমান হয়, তখন তাদের অনুপাতে বলা হয়।
চতুর্থ, তৃতীয় এবং গড় সমানুপাতিক
যদি a : b = c : d, তাহলে:
• d কে a, b, c এর চতুর্থ সমানুপাতিক বলা হয়।
• c কে বলা হয় a এবং b এর তৃতীয় সমানুপাতিক।
• a এবং b-এর গড় সমানুপাতিক হল √(ab)।
অনুপাত সম্পর্কে টিপস এবং কৌশল
• a/b = c/d ⇒ বিজ্ঞাপন = bc
• a/b = c/d ⇒ b/a = d/c
• a/b = c/d ⇒ a/c = b/d
• a/b = c/d ⇒ (a + b)/b = (c + d)/d
• a/b = c/d ⇒ (a – b/b = (c – d)/d
• a/(b + c) = b/(c + a) = c/(a + b) এবং a + b + c ≠0, তারপর a = b = c।
• a/b = c/d ⇒ (a + b)/(a – b) = (c + d)/(c – d), যা componendo -dividendo নিয়ম হিসাবে পরিচিত
• যদি a এবং b উভয় সংখ্যাই a:b অনুপাতে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, তাহলে ফলাফল অনুপাতটি মূল অনুপাতের মতোই থাকবে।
উদাহরণ সহ অনুপাত সূত্র
একটি অনুপাত সূত্র একটি সমীকরণ যা তুলনা মান পেতে সমাধান করা যেতে পারে। অনুপাত সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা ধারণাটি ব্যবহার করি যে অনুপাত দুটি অনুপাত যা একে অপরের সমান। দুটি ভগ্নাংশ একে অপরের সমান হওয়ার অর্থে আমরা এটিকে বুঝি।
অনুপাত সূত্র
অনুমান করুন যে, আমাদের যেকোনো দুটি পরিমাণ (বা দুটি সত্তা) আছে এবং আমাদের এই দুটির অনুপাত খুঁজে বের করতে হবে, তারপর অনুপাতের সূত্রটি a:b ⇒ a/b হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে,
• a এবং b যেকোনো দুটি রাশি হতে পারে।
• “a” কে প্রথম পদ বা পূর্ববর্তী বলা হয়।
• “b” কে দ্বিতীয় পদ বা ফলাফল বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, অনুপাত 5:9, 5/9 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে 5 পূর্ববর্তী এবং 9 ফলস্বরূপ। 5:9 = 10:18 = 15:27
অনুপাত সূত্র এখন, অনুপাতে, অনুপাত দুটি হল a:b এবং c:d। ‘বি’ এবং ‘সি’ দুটি পদকে ‘অর্থ বা গড় পদ’ বলা হয়, যেখানে ‘এ’ এবং ‘ডি’ পদগুলি ‘চরম বা চরম পদ’ হিসাবে পরিচিত।
a/b = c/d বা a:b::c:d. উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা 2টি শ্রেণীকক্ষে ছাত্র সংখ্যার আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে ছেলেদের সাথে মেয়েদের সংখ্যার অনুপাত সমান। আমাদের ছেলেদের সাথে মেয়েদের সংখ্যার প্রথম অনুপাত হল 2:5 এবং অন্যটির 4:8, তারপর অনুপাতটিকে এভাবে লেখা যেতে পারে: 2:5::4:8 বা 2/5 = 4/8। এখানে, 2 এবং 8 হল চরম, যখন 5 এবং 4 হল উপায়।
অনুপাতের ধরন
দুই বা ততোধিক পরিমাণ ভাগের সম্পর্কের প্রকারের উপর ভিত্তি করে, অনুপাতকে বিভিন্ন প্রকারে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। অনুপাত দুই প্রকার।
•সরাসরি সমানুপাত
• বিপরীত অনুপাত
সরাসরি সমানুপাত
এই প্রকারটি দুটি পরিমাণের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ককে বর্ণনা করে। সহজ কথায়, একটি পরিমাণ বাড়লে অন্য পরিমাণও বাড়ে এবং উল্টোটাও হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি গাড়ির গতি বাড়ানো হয় তবে এটি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে আরও দূরত্ব অতিক্রম করে। স্বরলিপিতে, সরাসরি অনুপাতটি y ∝ x হিসাবে লেখা হয়।
বিপরীত অনুপাত
এই প্রকারটি দুটি পরিমাণের মধ্যে পরোক্ষ সম্পর্ককে বর্ণনা করে। সহজ কথায়, একটি পরিমাণ বাড়লে অন্য পরিমাণ কমে যায় এবং উল্টোটা হয়। স্বরলিপিতে, একটি বিপরীত অনুপাত y ∝ 1/x হিসাবে লেখা হয়। যেমন, গাড়ির গতি বাড়ানোর ফলে নির্দিষ্ট দূরত্ব কম সময়ে অতিক্রম করা সম্ভব হবে।
গুরুত্বপূর্ণ নোট: অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
• অনুপাত হল দুটি সংখ্যার মধ্যে একটি গাণিতিক তুলনা।
• মৌলিক অনুপাত দুই প্রকার: প্রত্যক্ষ অনুপাত এবং বিপরীত অনুপাত।
• আমরা ভৌগোলিতে অনুপাতের ধারণা প্রয়োগ করতে পারি, পদার্থবিদ্যা, খাদ্যতত্ত্ব, রান্না ইত্যাদিতে পরিমাণের তুলনা করতে পারি।
অনুপাতের বৈশিষ্ট্য
অনুপাত উভয়ের মধ্যে সমতুল্য সম্পর্ক স্থাপন করে
অনুপাতঃ
দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
বহু রাশিক অনুপাত :
তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।
ধারাবাহিক অনুপাত :
প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান হলে তাকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে।
এবং তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতী বলে।
অর্থাৎ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
* সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে।
* সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।
ক্রমিক সমানুপাতি :
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
* ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
* ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।
সমানুপাত ভাগ:
একটি প্রদত্ত রাশিকে একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যার অনুপাতে বিভক্ত করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলে।
দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই।
যেমন, জনাব সাইদের বয়স আমার ৩ গুণ। এই কথাটি একটি আনুপাতিক সংখ্যা প্রকাশ করে।
আমার বয়সঃ ২৩ বছর
জনাব সাইদের বয়সঃ ৬৯ বছর
জনাব সাইদের বয়স ÷আমার বয়স = ৬৯÷২৩ = ৩
এটিকে লেখা যেতে পারে,
জনাব সাইদের বয়স : আমার বয়স = ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১
এখন দেখুন, আমরা ৩:১ থেকে লিখতে পারি,
সাইদের বয়স = ৩x বছর
আমার বয়স = x বছর; x এখানে সেই সংখ্যাটি যা দিয়ে ভাগ করে অনুপাতটিকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১; এখানে অনুপাতের দুইটি সংখ্যাকে ২৩ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। x = ২৩।
অনুপাত অনেকটা ভাগের মতন।
২১: ১১ এটিকে আর সংক্ষেপে প্রকাশ করা যায় না।
১২ : ৬ = ২ : ১
১২ : ৮ = ৩ : ২
এবার খেয়াল করুন,
৩ : ৬ = ১ : ২
৯ : ১৮ = ১ : ২
২ : ৪ = ১ : ২
উপরের তিনটি অনুপাতকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করলে একই মান পাওয়া যায়। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাত: অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।
সরল অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে।
যেমন: ৬: ৮ একটি সরল অনুপাত। এখানে ৬ হলো পূর্ব রাশি এবং ৮ হলো উত্তর রাশি।
লঘু অনুপাত: সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৭: ৯, ৬: ৮ ইত্যাদি।
গুরু অনুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ৫: ২, ৮: ৬, ৯: ৪ ইত্যাদি।
একক অনুপাত: যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, সেই অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন: ১০: ১০ বা, ৩: ৩ বা ১: ১।
ব্যস্ত অনুপাত: ১২: ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ৬: ১২।
মিশ্র অনুপাত: ২: ৩ এবং ৫: ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (২ × ৫): (৩ × ৭) = ১০: ২১।
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমাণ সোনা ও তামা আছে?
সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ হলে, ধরি সোনা আছে ৩x গ্রাম এবং তামা আছে x গ্রাম।
প্রশ্নমতে,
৩x + x = ১৬
৪x = ১৬
x= ৪
অর্থাৎ, তামা আছে ৪ গ্রাম
সোনা আছে (৩*৪)গ্রাম = ১২ গ্রাম।
দ্বিতীয় নিয়মঃ
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক-
এখন প্রশ্নটি এরকম করা হলঃ
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১.এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
এখন মিশ্রণে সোনা মিশানো হবে, তার মানে তামা যা আছে তাই থাকবে অর্থাৎ ৪ গ্রামই থাকবে। নতুন মিশ্রণে সোনা ও তামার অনুপাত হবে, ৪:১।
মানে হল, সোনা তামার ৪ গুণ হবে= (৪ গ্রামx৪) = ১৬ গ্রাম হবে।
সুতরাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬-১২) = ৪ গ্রাম
—————–অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক————————
একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যত দূর যায়, কুকুর ৩ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩লাফ
সুতরাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪ লাফ
সুতরাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগেরঅনুপাত = ৪:১৫/৪ = ১৬:১৫
—————————————————————–
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮.উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্নমতে , (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২:৩
বা, (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,
৫x = ৫ x ২ = ১০ ও
৮x = ৮ x ২ = ১৬
অনুপাত এর অংক সহজেই করার টেকনিক:.✿
.১. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য একই হয়,তখন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণেরপরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
যেমন-৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ওপানির অনুপাত৭:৩। মিশ্রনে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
= ৩০/৩* (৭-৩)
= ৪০লিটার
.২. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য ভিন্নহয়, তখন-মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
যেমন- একটি সোনার গহনার ওজন ১৬গ্রাম।তাতে সোনার পরিমাণ: তামার পরিমাণ = ৩:১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
►শর্ট টেকনিক: অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য-
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
= ১৬/(৩+১)
= ৪গ্রাম
বিকল্প নিয়ম: অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য
নিয়ম-০১:
৬০ লিটার কেরোসিন এবং পেট্রোলের মিশ্রণের অনুপাত ৭:৩.ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশালে অনুপাত ৩:৭ হবে?
উত্তর:মেশাতে হবে = [মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা] x অনুপাতের পার্থক্য = [৬০/৩] x [৭-৩] = ২০x৪ = ৮০
নিয়ম-০২:
একটি তামা মিশ্রিত সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। ঐ গহনায় সোনা এবং তামার অনুপাত ৩:১.এতে আরো কি পরিমাণ সোনা মিশালে গহনাটিতে সোনা এবং তামার অনুপাত হবে ৪:১?
উত্তর:মেশানোর পরিমাণ = [প্রথম মিশ্রণের পরিমাণ/প্রথম অনুপাতের সমষ্টি] X অনুপাতদ্বয়ের পূর্ব রাশি দুটির পার্থক্য
= [১৬/(৩+১)] X(৪-৩) = ৪ গ্রাম
নিয়ম-০৩ঃ
একটি জারে দুধ এবং পানির অনুপাত ৭:৩. দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?
উত্তর:পানির পরিমাণ = [মোট পার্থক্যের পরিমাণ/অনুপাতের বিয়োগফল] x যত অনুপাত
পানির পরিমাণ =[৮/৭-৩] X৩=৬
উদাহরণঃ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ঃ১। এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪ঃ১ হবে?
সমাধানঃ
সোনা :তামা = ৩ঃ ১
মোট মিশ্রণ (৩+১) = ৪ গ্রাম
সুতারাং মিশ্রণে সোনার পরিমান = ১৬ x ৩/৪ = ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
সুতারাং সোনা: তামা = ৪ঃ ১
১ গ্রাম তামায় সোনা ৪ গ্রাম
৪ গ্রাম তামায় সোনা ৪ x ৪ =১৬ গ্রাম
সুতারাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬ – ১২) = ৪ গ্রাম (উঃ)
উদাহরণঃ ১,০০০ টাকা ক ও খ ১ঃ ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ – এর অংশ সে ও তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ঃ১ঃ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?
সমাধানঃ
কঃখ = ১ঃ৪
অনুপাতের যোগফল ৪+১ = ৫
সুতারাং খ পায় = (১০০০ এর ৪/৫)=৮০০ টাকা
খঃমাঃমেয়ে = ২ঃ১ঃ১
অনুপাতের যোগফল (২+১+১)= ৪
সুতারাং মেয়ে পায় = ৮০০ এর ১/৪ = ২০০ টাকা (উঃ)
উদাহরণঃ একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
সমাধানঃ
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩ লাফ
সুতারাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪
সুতারাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত = ৪ঃ ১৫/৪ = ১৬ঃ ১৫ (উঃ)
৪। দুটি সংখ্যার আনুপাত ৫ঃ৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ঃ৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
সমাধানঃ
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্ন মতে , (৫x + ২): (৮x + ২) = ২ঃ৩
বা, ৫x + ২ / ৮x + ২ = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,৫x = ৫ x ২ = ১০ ও ৮x = ৮ x ২ = ১৬
উ: ১০ ও ১৬
অনুপাত এর অংক সহজেই করার টেকনিক:
অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
১. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য একই হয়,তখন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণেরপরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
যেমন-৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ওপানির অনুপাত৭:৩। মিশ্রনে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?
►শর্ট টেকনিক:
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)*অনুপাতের পার্থক্য
= ৩০/৩* (৭-৩)
= ৪০লিটার
২. মিশ্রিত দ্রবনের ক্ষেত্রে, যখন দুটি অনুপাতের সংখ্যা দুটির পার্থক্য ভিন্নহয়, তখন- মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
যেমন- একটি সোনার গহনার ওজন ১৬গ্রাম।তাতে সোনার পরিমাণ: তামার পরিমাণ = ৩:১। তাতে আর কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
►শর্ট টেকনিক: অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমান =(বস্তুর মোট ওজন/১ম অনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল)
= ১৬/(৩+১)
=৪
উদাহরণ-১ঃ
১০, ৪০ এবং ৫০ এর চতুর্থ সমানুপাতী নিচের কোনটি হবে?
সমাধানঃ
১০×৪=৪০
৫০×৪=২০০ (Ans.)
উদাহরণ-২ঃ
জ্বালানি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় বাসের টিকিটের মূল্যও একই হারে বৃদ্ধি পেল। পুরানো ও নতুন বাস ভাড়ার অনুপাত কত?
সমাধানঃ
ধরি, পুরানো বাস ভাড়া = ১০০ টাকা
তাহলে, নতুন বাস ভাড়া = ১২৫ টাকা
এখন, অনুপাত,
পুরানো বাস ভাড়া : নতুন বাস ভাড়া = ১০০ : ১২৫
= ২৫*৪ : ২৫*৫
= ৪ : ৫ (Ans.)
উদাহরণ-৩ঃ অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
একজন লোক সপ্তাহে ৪৫০০ টাকা আয় করেন এবং ৩০০০ টাকা ব্যয় করেন। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত হবে?
সমাধানঃ
সঞ্চয় = (৪৫০০-৩০০০)=১৫০০ টাকা
সুতরাং,
আয়ঃসঞ্চয়= ৪৫০০ঃ১৫০০= ৩ঃ১ (Ans.)
উদাহরণ-৪ঃ
৭০ লিটার অকটেন পেট্রোল মিশ্রনে পেট্রোল : অকটেন = ৫ : ২। এই মিশ্রনে আর কত লিটার অকটেন মিশালে পেট্রোল : অকটেন ২ : ১ হবে?
সমাধানঃ
পেট্রোলের পরিমাণ = ৫*৭০/৭
= ৫০ লিটার
অকটেনের পরিমাণ = ২*৭০/৭
= ২০ লিটার
এখন,
পেট্রোল:অকটেন ২:১ হবে, যখন অকটেনের পরিমাণ পেট্রোলের ঠিক অর্ধেক হবে।
অর্থাৎ,
অকটেনের পরিমাণ হতে হবে= ৫০/২ = ২৫ লিটার।
সুতরাং, অতিরিক্ত অকটেনের প্রয়োজন = (২৫ – ২০) লিটার
= ৫ লিটার (Ans.)
উদাহরণ-৫ঃ
পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১১:৪। পুত্রের বয়স ১৬ হলে। পিতার বয়স কত?
সমাধানঃ
ধরি,
পিতা ও পুত্রের বয়স যথাক্রমে ১১ক,৪ক
শর্তমতে, ৪ক = ১৬
বা, ক=8
পিতার বয়স =১১ক=১১x৪=৪৪ (Ans.)
অনুপাতের বৈশিষ্ট্য
১) অনুপাত হলো ভাগের সংক্ষিপ্ত রূপ।
২) অনুপাত লেখার সময় রাশিগুলিকে এককে প্রকাশ করতে হয়।
৩) যদি কোনো অনুপাত এর দুটি রাশিকে 0 ছাড়া অন্য কোনো একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।
৪) অনুপাত একটি শুদ্ধ সংখ্যা যার কোনো একক নেই।
৫) ভিন্ন জাতীয় দুটি রাশির অনুপাত গঠন করা সম্ভব নয়।
অনুপাত পড়া ও লেখার নিয়ম
অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
i) 3:5 = তিন অনুপাত পাঁচ
=Three is to five
3:5=3/5=3÷5
এই অনুপাত হল ভাগের সংক্ষিপ্ত রূপ।
2) অনুপাত লেখার সময় রাশি গুলিকে একই এককে প্রকাশ করতে হয়।
3) যদি কোনো অনুপাত এর দুটি রাশিকে 0 ছাড়া অন্য কোনো একই সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।
4) অনুপাত একটি শুদ্ধ সংখ্যা যার কোনো একক নেই।
5) ভিন্ন জাতীয় দুটি রাশির অনুপাত গঠন করা সম্ভব নয়।
⇒ অনুপাতের শ্রেণিবিভাগ-
অনুপাতকে কয়েকটি ভাগে ভাগ করা যায়। যথা-
১. সরল অনুপাত:
অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। সরল অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। যেমন: ৬: ৮ একটি সরল অনুপাত। এখানে ৬ হলো পূর্ব রাশি এবং ৮ হলো উত্তর রাশি।
২. লঘু অনুপাত:
পূর্বরাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৭: ৯, ৬: ৮ ইত্যাদি।
৩. গুরু অনুপাত:
কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ৫: ২, ৮: ৬, ৯: ৪ ইত্যাদি।
৪. একানুপাত:
যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, সেই অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন: ১০: ১০ বা, ৩: ৩ বা ১: ১।
৫. ব্যস্ত অনুপাত:
সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে সরল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন– ১২: ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ৬: ১২।
৬. মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত:
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত (compound ratio) বলে।
যেমন: ৫:৩, ৭:৯, ১১:৪ তিনটি অনুপাত হলে,
পূর্ব রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফল=৫ x ৭ x১১= ৩৮
উত্তর রাশিগুলোর ধারাবাহিকক গুণফল=৩ x ৯ x ৪= ১০৮
অতএব, অনুপাত গুলোর মিশ্র অনুপাত=৩৮৫ : ১০৮
৭. দ্বিগুণানুপাত:
যেকোনো সরলঅনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তররাশিকে বর্গ করলে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিগুণানুপাত বলে। যেমন– ৫ : ৬ এর দ্বিগুণাপাত হল ৫২ : ৬২ = ২৫ : ৩৬।
৮. দ্বিভাজিত অনুপাত:
সরল অনুপাতের রাশি দুটির বর্গমূল করলে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিভাজিত অনুপাত বলে। যেমন– ২৫ : ৩৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত হল = √২৫ : √৩৬ = √৫২ : √৬২ = ৫ : ৬।
৯. ধারাবাহিক অনুপাত:
দুটি অনুপাতের মধ্যে প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি পরস্পর সমান হলে, তাদের ধারাবাহিক অনুপাতে প্রকাশ করা যায়। যেমন: ৩:৫ ও ৫:৭ দুইটি অনুপাত হলে, এদের ধারাবাহিক অনুপাত হবে ৩ : ৫ : ৭
◊ অনুপাতের অঙ্ক করার শর্টকাট পদ্ধতি/অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক
উদাহরণ-১ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪:১ হবে?
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২ গ্রাম
মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
এখন মিশ্রণে সোনা মিশানো হবে, তার মানে তামা যা আছে তাই থাকবে অর্থাৎ ৪ গ্রামই থাকবে। নতুন মিশ্রণে সোনা ও তামার অনুপাত হবে, ৪:১।
মানে হল, সোনা তামার ৪ গুণ হবে= (৪ গ্রামx৪) = ১৬ গ্রাম হবে।
সুতরাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে (১৬-১২) = ৪ গ্রাম
উদাহরণ-২ একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যত দূর যায়, কুকুর ৩ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?
খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩লাফ
সুতরাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪ লাফ
সুতরাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগেরঅনুপাত = ৪:১৫/৪ = ১৬:১৫
উদাহরণ-৩ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮।উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?
ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x
প্রশ্নমতে , (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২:৩
বা, (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
বা, x = ২
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,
৫x = ৫ x ২ = ১০ ও
৮x = ৮ x ২ = ১৬
উদাহরণ-৪ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমাণ সোনা ও তামা আছে?
সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ হলে, ধরি সোনা আছে ৩x গ্রাম এবং তামা আছে x গ্রাম।
প্রশ্নমতে,
৩x + x = ১৬
৪x = ১৬
x= ৪
অর্থাৎ, তামা আছে ৪ গ্রাম
সোনা আছে (৩*৪)গ্রাম = ১২ গ্রাম।
দ্বিতীয় নিয়মঃ
সোনা:তামা = ৩:১
অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪
সুতরাং মিশ্রণেসোনারপরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২গ্রাম
মিশ্রণেতামারপরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম
বিঃদ্রঃ আজকের এই লেখাটি মূলত যারা “অনুপাত কি?”- জানে না, তাদের জন্য। তাই, পাকনারা ঘ্যাঙ ঘ্যাঙ না করলেই ভালো! ? ! আজকের এই অনুপাত (Ratio) অংক গুলো করার জন্য সহজ টেকনিক পড়ে যদি অন্তত একজনও অনুপাত সম্পর্কে একটুও বুঝতে পারে, তাহলে আমার লেখা সার্থক। সবাই ভালো থাকুন এবং গণিতকে ভালবাসুন !
